REMIDIAL MATEMATIKA

PELUANG

• Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
  1. Kaidah Pencacahan
     Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x ..
  2. Faktorial
     Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
     n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
     atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1
  3. Permutasi
     Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r &#8804 n) yang dinotasikan dengan _nP_r atau P(n,r) atau atau P_n,r
  • Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
  • Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah :
    
  • Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
    
  • Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
    P = (n – 1)!
  1. Kombinasi
     Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
     disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan _nC_r atau C(n,r) atau atau C_n,r
     Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
     
  2. Binomial Newton
     
• Peluang Suatu Kejadian
1. Dalam suatu percobaan :
   • Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel
   • Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel
   • Hasil yang diharapkan disebut kejadian
2. Definisi Peluang
   Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
   terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
   Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
   Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian
3. Frekuensi Harapan
   Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
   Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : F_h(A) = n x P(A)
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
   Jika A^c kejadian selain A, maka P(A)^c = 1 – P(A) atau
   P(A)^c + P(A) = 1
   P(A)^c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A
• Kejadian Majemuk
1. Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku :
2. Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
   Jika maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
   Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah :
3. Peluang dua kejadian saling bebas
   Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
   Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan :
4. Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
   Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
   maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
   Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan :  

CONTOH SOAL:

1. Nilai n yang memenuhi untuk nP5 = 9. (n-1)P4 ?
Penyelesaian:
Jadi nilai n = 9.

2. Jika (n+2)C5 = 2. (n+1)C4. Maka nilai dari 2n + 3 adalah…
Penyelesaian:
Didapat nilai n = 8. Jadi nilai 2n + 3 = 2.8 + 3 = 19.

3. Buktikan mengapa 0! = 1 ?
Penyelesaian:
Seperti yang kita tahu, misalnya:
4! = 4x3x2x1
6! = 6x5x4x3x2x1
1! = 1.
Dengan beberapa contoh ini dapat disimpulkan bahwa:
n! = n x (n – 1)!
Kemudian kita dapat bagi setiap sisi dengan n.
n!/n = [n x (n - 1)!]/n
n!/n = (n – 1)!
Nah kemudian coba subtitusi nilai n = 1. Maka:
n!/n = (n – 1)!
1!/1 = (1 – 1)!
1 = 0!
0! = 1     —–> terbukti.

4. Ada 9 bola.Tiap bola ditandai dengan angka yang saling berlainan yakni: mulai dari 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 dan 20. Dilakukan pengambilan 2 bola secara acak. Tentukan peluang munculnya 2 bola dengan jumlah angka yang genap?
Penyelesaian:
Jumlah sampel = 9.
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Genap = 5
Ganjil = 4
2 buah angka yang dijumlahkan hasilnya GENAP, jika:

• GENAP + GENAP = GENAP
• GANJIL + GANJIL = GENAP.

Banyaknya cara munculnya angka GENAP + GENAP
= 5C2 = 5!/2!.3! = 10 cara.
Banyaknya cara munculnya angka GANJIL + GANJIL
= 4C2 = 4!/2!.2! = 6 cara.
Jadi, peluang munculnya 2 angka dengan jumlah genap adalah:
P = n(A)/n(S)
P = [5C2 + 4C2] / 9C2
P = [10 + 6] / 9C2

untuk 9C2 = 9!/2!.7!
= 9.8.7!/2.7!
= 72/2 = 36.

Maka,
P = [10 + 6] / 9C2
P = [10 + 6]/36
P 16/36 = 4/9.

5. Terdapat 3 mata uang logam yang dilemparkan bersamaan. Tentukan besar frekuensi harapan peluang munculnya sisi muka lebih dari satu pada 64 percobaan pelemparan?
Penyelesaian:
Mis: S = sisi muka uang logam
B = sisi belakang uang logam.
Banyaknya kejadian/sampel yang muncul saat terjadi pelemparan 3 mata uang logam bersamaan, ada pada gambar di bawah ini;

Jumlah kejadian/sampel = 8.
Dimana 4 diantaranya adalah kejadian dimana sisi muka muncul lebih dari satu, yakni: MMM, MMB, MBM, BMM.
Peluang munculnya sisi muka lebih dari satu adalah
P = n(A)/n(S)
P = 4/8 = 1/2.
Jadi, frekuensi harapannya adalah
= n.P = 64. 1/2 = 32.

SUMBER:
http://mtksmampsw.wordpress.com/kelas-xi/kelas-xi-ipa-semester-i/peluang/
http://istanamengajar.wordpress.com/2013/06/10/soal-dan-pembahasan-permutasi-kombinasi-dan-peluang-1-6/